Osová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Osová súmernosť, alebo zrkadlový obraz určený osou o, je zhodné zobrazenie v rovine, ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o.
Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo invariantná, a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti.
Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za osovo súmerný, ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Útvar označujeme za osovo súmerný, ak je v nejakej osovej súmernosti obrazom seba samého. Os tejto súmernosti potom nazývame osou útvaru.
Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. Body ležiace na osi súmernosti sú samodružnými bodmi.
Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty.
Prečítajte si tiež: Umiestnenie Biliardu v Obývačke
Vlastnosti osovej súmernosti:
- Každé dva body symetrické podľa priamky nazývanej os súmernosti ležia:
- na priamke kolmej na os,
- na opačných stranách osi súmernosti,
- v rovnakých vzdialenostiach od osi.
- Pre každé dva útvary symetrické podľa danej osi platí:
- zodpovedajúce si strany sú zhodné,
- zodpovedajúce si uhly majú rovnakú veľkosť.
Osovo súmerné útvary:
Útvary, ktoré sa v osovej súmernosti zobrazia samy do seba, nazývame osovo súmerné. Všetky pravidelné mnohouholníky sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka.
Príklady osovej súmernosti:
- Päťuholník A’B’C’D’E’ je súmerný podľa osi k s päťuholníkom ABCDE.
- Päťuholník A”B”C”D”E” je súmerný podľa osi m s päťuholníkom A’B’C’D’E’.
- Šesťuholník ABCDEF a jeho obraz sa čiastočne prekrývajú. Body úsečky BD sú samodružnými bodmi v osovej súmernosti s osou k.
- Šesťuholník ABCDEF a jeho obraz majú spoločnú hranu BC.
Osová súmernosť - štvorec a kosoštvorec:
Prečítajte si tiež: Zábava s kombinovaným stolom
Osová súmernosť je daná priamkou o a priraďuje každému bodu X mimo os taký bod X', že priamka o je osou úsečky XX'. Inými slovami: obraz má od osi rovnakú vzdialenosť ako pôvodný bod a spojnica bodov je kolmá na os.
Stredová súmernosť:
Pre úplnosť uveďme, že stredová súmernosť je daná bodom S a priraďuje každému bodu X taký bod X', že bod S je stredom úsečky XX'. Stredová súmernosť zachováva vzdialenosti aj uhly, ide teda o druh zhodnosti. Útvar označujeme za stredovo súmerný, ak je v nejakej stredovej súmernosti obrazom seba samého. Stred tejto stredovej súmernosti potom nazývame stredom súmernosti objektu.
Ďalšie typy zobrazení:
- Dva geometrické útvary sú zhodné, keď majú rovnaký tvar a veľkosť.
- Dva geometrické útvary sú si podobné, ak majú oba rovnaký tvar (bez ohľadu na veľkosť).
- Posunutie je dané orientovanou úsečkou. Táto úsečka určuje smer a dĺžku posunutia.
- Otočenie (rotácia) je dané bodom S a orientovaným uhlom \alpha. Bod S sa nazýva stred otočenia.
- Rovnoľahlosť je daná bodom S a nenulovým číslom \lambda.
Referencie:
Prečítajte si tiež: Biliard a bowling pre deti
- J. SMIDA, J. ŠEDIVÝ, J. LUKÁTŠOVÁ, J. VOCELKA. Matematika pre 1. ročník gymnázia. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1990, ISBN 80-08-00340-5.
- F. JIRÁSEK, J. BENDA. Matematika pro bakalářské studium. Praha: Ekopress, s.r.o., 2006, ISBN 80-86929-02-7.
- M. BILLICH - M. TRENKLER. Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2013, ISBN 978-80-561-0058-5.